Las pruebas estadísticas estandarizadas son una forma de comparar los resultados con una población “normal”. En tal sentido, las puntuaciones Z y las puntuaciones t son muy similares, aunque la distribución t es un poco más corta y amplia que la distribución normal. Pero ambas funcionan de la misma manera. En la forma más sencilla, en estadística elemental, se puede comenzar utilizando una puntuación z. Pero a medida que vayamos avanzando, se utilizarán puntuaciones t para poblaciones pequeñas. En general, debemos conocer la desviación estándar de la población y el tamaño de la muestra debe ser superior a 30 para poder utilizar una puntuación z. En caso contrario, debemos utilizar una puntuación t.
¿Cómo se calculan las pruebas estadísticas estandarizadas?
Debemos comenzar calculando los valores estandarizados restando la media de los casos individuales y dividiendo los valores resultantes por la desviación estándar. Los valores estandarizados muestran, en unidades de desviación estándar, cuántos valores individuales están por encima o por debajo de la media.
¿Cuál es un ejemplo de pruebas estadísticas estandarizadas?
Las pruebas estadísticas estandarizadas se utilizan en las pruebas de hipótesis cuando se decide apoyar o rechazar una hipótesis nula. Las pruebas estadísticas estandarizadas utilizan los datos de un experimento o una encuesta y comparan sus resultados con los resultados que se esperarían de la hipótesis nula. Por ejemplo, podemos utilizar este tipo de prueba si creemos que un fármaco X curará la dermatitis de forma segura.
¿Cuál es la ecuación de una prueba estadística estandarizada?
Las prueba estadísticas estandarizadas se definen como prueba t(t) y a su vez vienen definidas por la siguiente ecuación. t = (x) / SE. Donde x es la media de la muestra, la media de la población hipotética en la hipótesis nula y SE es el error estándar.
Las Pruebas de Hipótesis
Una hipótesis estadística es una suposición sobre un parámetro de la población. Por ejemplo, podemos suponer que la altura media de un varón en EE.UU. es de 70 pulgadas. La suposición sobre la altura es la hipótesis estadística y la verdadera altura media de un varón en EE.UU. es el parámetro de la población.
Una prueba de hipótesis es una prueba estadística formal que utilizamos para rechazar o no rechazar alguna hipótesis estadística.
El proceso básico para realizar una prueba de hipótesis es el siguiente:
- Recoger los datos de la muestra.
- Calcular el estadístico estandarizado de la prueba para los datos de la muestra.
- Comparar la estadística estandarizada de la prueba con algún valor crítico. Si es más extremo que el valor crítico, rechazar la hipótesis nula. En caso contrario, no rechazar la prueba de la hipótesis nula.
La fórmula que utilizamos para calcular el estadístico de prueba estandarizado varía en función del tipo de prueba de hipótesis que realicemos.
Ejemplo de Prueba de Hipótesis
La fórmula general es: (estadística muestral – parámetro hipotetizado) / SE.
Como ejemplo, digamos que usted está interesado en probar las siguientes hipótesis para una población de estudiantes:
Ho: El peso medio de los estudiantes de la población es de 60 kg;
Ha: El peso medio de los estudiantes de la población es inferior a 60 kg o superior a 60 kg.
La población de estudiantes podría estar formada por todos los estudiantes universitarios de su ciudad.
Para poner a prueba estas hipótesis, tiene previsto seleccionar 100 estudiantes al azar de la población estudiantil.
El estadístico de la muestra será el peso medio de los 100 estudiantes de la muestra.
El parámetro hipotetizado será 60 kg (es decir, el valor del peso medio en la población estudiantil hipotetizado bajo la hipótesis nula Ho).
Utilizando los datos sobre el peso que va a recoger de los 100 alumnos de su muestra, puede determinar si tiene suficientes pruebas en los datos para rechazar la hipótesis nula Ho a favor de la hipótesis alternativa Ha.
Supongamos que su muestra real arroja un peso medio para los 100 estudiantes que contiene de 70 kg. ¿Consideraría que la diferencia entre el peso medio de la muestra de estudiantes (es decir, 70 kg) es “lo suficientemente grande” en comparación con el peso medio hipotético de la población de estudiantes (es decir, 60 kg) como para rechazar Ho a favor de Ha con un alto grado de confianza?
Aquí es donde entra en juego el error estándar (SE): piense en el SE como el criterio para decidir cuándo la diferencia entre el peso medio de la muestra y el peso medio de la población es “lo suficientemente grande” como para rechazar H0 a favor de Ha. El SE le proporciona el contexto que necesita para juzgar si la discrepancia entre el estadístico de la muestra y el valor hipotético del parámetro de la población bajo la hipótesis nula es “suficientemente grande”.
¿Cómo se calcula el SE para el presente ejemplo?
Imagínese que extrae todas las muestras posibles de 100 alumnos, al azar, de su población estudiantil objetivo. Además, imagine que, para cada una de estas muestras, podría calcular la diferencia entre el peso medio de la muestra y el peso medio de la población según la hipótesis nula. Tal vez la primera muestra le daría una diferencia de 12kg (= 72kg – 60kg), la segunda muestra le daría una diferencia de 4kg (= 64kg – 60kg), la tercera muestra le daría una diferencia de -2kg (= 58kg – 60kg), etc. El error estándar se calcularía simplemente como la desviación estándar de todas estas diferencias y le daría una idea de lo variables que son estas diferencias de una muestra a otra.
Cuanto mayor sea el SE, más variables serán estas diferencias de una muestra a otra (es decir, menos similares en valor). Por el contrario, cuanto más pequeño sea el SE, menos variables serán estas diferencias de una muestra a otra (es decir, más similares en valor). Por lo tanto, el SE es una medida de la dispersión de estas diferencias: cuanto mayor sea el SE, más dispersas estarán las diferencias. En la práctica, el SE se calcula basándose en la teoría, en lugar de hacer un experimento mental como el descrito aquí.
Supongamos que el SE es de 2 kg. Entonces la diferencia original de 70kg – 60kg = 10kg es 5 veces mayor que el SE, lo que sugeriría que se puede rechazar la hipótesis nula H0 a favor de Ha, ya que la discrepancia entre 70kg y 60kg es “suficientemente grande” (es decir, mayor por un factor multiplicativo de 5 en relación con el error estándar de la estadística de prueba).
Prueba de hipótesis para una media
Una prueba t de una muestra se utiliza para probar si la media de una población es o no igual a algún valor.
El estadístico de prueba estandarizado para este tipo de prueba se calcula de la siguiente manera:
t = (x – μ) / (s/√n)
donde:
x: media muestral
μ0: media poblacional hipotética
s: desviación típica de la muestra
n: tamaño de la muestra
Consulte este tutorial para ver un ejemplo de cómo calcular este estadístico de prueba estandarizado.
Prueba de hipótesis para una diferencia de medias
Una prueba t de dos muestras se utiliza para comprobar si las medias de dos poblaciones son iguales o no.
El estadístico de prueba estandarizado para este tipo de prueba se calcula como sigue:
t = (x1 – x2) / sp(√1/n1 + 1/n2)
donde x1 y x2 son las medias muestrales, n1 y n2 son los tamaños de las muestras, y donde sp se calcula como:
sp = √ (n1-1)s12 + (n2-1)s22 / (n1+n2-2)
donde s12 y s22 son las varianzas de la muestra.
Prueba de hipótesis para una proporción
Una prueba z de una proporción se utiliza para comparar una proporción observada con una teórica.
El estadístico de prueba estandarizado para este tipo de prueba se calcula de la siguiente manera
z = (p-p0) / √p0(1-p0)/n
donde:
p: proporción muestral observada
p0: proporción poblacional hipotética
n: tamaño de la muestra
Prueba de hipótesis para una diferencia de proporciones
Una prueba z de dos proporciones se utiliza para probar una diferencia entre dos proporciones de la población.
La estadística estandarizada de la prueba para este tipo de prueba se calcula como sigue:
z = (p1-p2) / √p(1-p)(1/n1+1/n2)
donde p1 y p2 son las proporciones de la muestra, n1 y n2 son los tamaños de la muestra, y donde p es la proporción total agrupada calculada como:
p = (p1n1 + p2n2)/(n1+n2)
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Fuentes Consultadas
Australian Bureau of Statistics (1998). Statistics – A Powerful Edge! (2nd ed).
Lorh, S.L. (2019). Sampling: Design and Analysis (2nd ed). Chapman & Hall/CRC Press.
Statistics Canada (2003). Survey Methods and Practices. Catalogue no 12-587-XPF.
Pruebas Estadísticas Estandarizadas. Foto: Unsplash. Créditos: Myriam Jessier @mjessier
