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La interpolación es un método estadístico por el que se utilizan valores conocidos relacionados para estimar un precio desconocido o el rendimiento potencial de un valor, por ejemplo. La interpolación se consigue utilizando otros valores establecidos que se encuentran en secuencia con el valor desconocido.

La interpolación es, en el fondo, un simple concepto matemático. Si existe una tendencia generalmente coherente en un conjunto de puntos de datos, se puede estimar razonablemente el valor del conjunto en los puntos que no se han calculado. En el caso de los inversores y los analistas bursátiles, quienes utilizan este método a menudo, estos suelen crear un gráfico de líneas con puntos de datos interpolados. Estos gráficos les ayudan a visualizar los cambios en el precio de los valores y son una parte importante del análisis técnico.

La fórmula de la interpolación

La fórmula de interpolación es la siguiente:

y−y1=y2−y1x2−x1×(x−x1)

dicho de otra forma,

y=y1+y2−y1x2−x1×(x−x1)

donde dos puntos se conocen como (x1,y1)y(x2,y2).

Relacionado con la interpolación, otro proceso es la extrapolación, que es la búsqueda de un valor correspondiente para un conjunto dado de valores fuera del rango indicado.

¿Por qué es importante el concepto de interpolación?

El concepto de interpolación se utiliza para simplificar funciones complicadas mediante el muestreo de cualquier punto de datos y la interpolación de estos puntos de datos utilizando una función más simple.

Comúnmente se utilizan polinomios para el proceso de interpolación porque son mucho más fáciles de evaluar, diferenciar e integrar y se conocen como interpolación polinómica.

El tipo de interpolación más fácil y frecuente es la interpolación lineal. Este tipo de interpolación es útil si se intenta estimar el valor de un título o un tipo de interés para un punto en el que no hay datos.

Supongamos, por ejemplo, que estamos siguiendo el precio de un valor durante un periodo de tiempo. Llamaremos función f(x) a la línea en la que se sigue el valor del título. Trazaríamos el precio actual del valor sobre una serie de puntos que representan momentos en el tiempo. Así, si registramos f(x) para agosto, octubre y diciembre, esos puntos se representarían matemáticamente como xAug, xOct y xDec, o x1, x3 y x5.

Por diversas razones, podríamos querer conocer el valor del título durante septiembre, un mes del que no tenemos datos. Podríamos utilizar un algoritmo de interpolación lineal para estimar el valor de f(x) en el punto del gráfico xSep, o x2 que aparece dentro del rango de datos existente.

Usos de la interpolación

Para sustituir un conjunto de puntos de datos {(xi, yi)} por una función dada analíticamente.

Los datos pueden pertenecer a una clase conocida de funciones. La interpolación se utiliza entonces para encontrar el miembro de esta clase de funciones que concuerda con los datos dados.

Podemos querer tomar los valores de la función f(x) dados en una tabla para valores seleccionados de x, a menudo igualmente espaciados, y extender la función a valores de x, no en la tabla. Por ejemplo, dados los números de una tabla de logaritmos, estimar el logaritmo de un número x que no está en la tabla.

Dado un conjunto de puntos de datos {(xi,yi)}, encontrar una curva que pase por estos puntos y que sea «agradable a la vista». De hecho, esto es lo que se hace continuamente con los gráficos por ordenador. ¿Cómo conectamos un conjunto de puntos para hacer una curva suave? Conectarlos con segmentos de líneas rectas suele dar una curva con muchas curvas, cuando lo que se pretendía era una curva suave.

Para aproximar funciones con otras más simples, normalmente polinomios

Se refiere a aproximar funciones f(x) por funciones más simples p(x), quizás para facilitar la integración o diferenciación de f(x).

Críticas a la interpolación

Una de las mayores críticas a la interpolación es que, aunque se trata de una metodología bastante sencilla que existe desde hace siglos, carece de precisión. En la antigua Grecia y Babilonia, la interpolación consistía principalmente en hacer predicciones astronómicas que ayudaran a los agricultores a programar sus estrategias de plantación para mejorar el rendimiento de las cosechas.

De hecho, la mayoría de los gráficos que representan el historial de una acción están ampliamente interpolados. La regresión lineal se utiliza para elaborar las curvas que representan aproximadamente las variaciones de precios de un valor. Incluso si un gráfico que mida una acción a lo largo de un año incluyera puntos de datos para cada día del año, nunca se podría decir con total confianza dónde se habrá valorado una acción en un momento concreto.

Extrapolación

La extrapolación es una forma de hacer conjeturas sobre el futuro o sobre alguna situación hipotética a partir de datos que ya conoces. Básicamente, estás haciendo tu «mejor suposición». Por ejemplo, supongamos que el aumento de tu sueldo es de 200 dólares al año. Puedes extrapolar y decir que en 10 años tu sueldo debería ser unos 2.000 dólares más alto que el actual.

Usos en la vida real

En la vida cotidiana se extrapola en cierta medida. Por ejemplo, puede que esperes con ansia tu sueldo mensual y asumas que lo vas a recibir basándote en datos conocidos (el hecho de que has cobrado mensualmente y a tiempo durante el último año). ¿Pero qué pasa si tu empresa quiebra? ¿O el mercado se desploma? ¿O el banco congela por error tu cuenta bancaria? En este caso concreto, la extrapolación tiene bastante certeza (probablemente vas a cobrar tu sueldo), pero no siempre es así.

Uso en estadística

La extrapolación puede significar varias cosas en estadística, pero todas implican suposiciones y conjeturas (¡la extrapolación está lejos de ser una ciencia exacta):

La extensión de un método estadístico en el que se supone que se utilizarán métodos similares.

La proyección, extensión o ampliación de su experiencia conocida a un área que no conoce o que aún no ha experimentado.

El uso de ecuaciones para ajustar los datos a una curva. A continuación, se utiliza la ecuación para hacer conjeturas. Esto se conoce como ajuste de curvas o regresión, que puede llegar a ser bastante complejo, con el uso de herramientas como el Coeficiente de Correlación.

Otros usos prácticos

La extrapolación se utiliza en muchos campos científicos, como en la química y la ingeniería, donde a menudo es necesaria la extrapolación. Por ejemplo, si conoces los voltajes actuales de un sistema particular, puedes extrapolar esos datos para predecir cómo podría responder el sistema a voltajes más altos.

Precauciones de uso

En general, hay que extrapolar con precaución. Por ejemplo, es posible que puedas confiar en que un cheque de pago estable llegue durante unos meses o años, pero probablemente no sería una buena idea asumir que esa misma empresa va a seguir pagándote dentro de 20 años.

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Fuentes Consultadas

Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). «Interpolation.» Appendix A, Table 21 in Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 1482-1483, 1980.

Meijering, E. «A Chronology of Interpolation: From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing.» Proc. IEEE 90, 319-342, 2002. http://bigwww.epfl.ch/publications/meijering0201.pdf.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. «Interpolation and Extrapolation.» Ch. 3 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 99-122, 1992.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. «Interpolation with Equal Intervals of the Argument.» Ch. 1 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 1-34, 1967.

¿Qué es la Interpolación?

¿Qué es la Interpolación? Foto: Unsplash. Créditos: imgix @imgix

 

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