Una probabilidad es la posibilidad de que ocurra un evento definido. Dados dos sucesos A y B, a menudo queremos determinar la probabilidad de que se produzca uno de ellos, o ambos. Se cuantifica como un número positivo entre 0 (el suceso es imposible) y 1 (el suceso es seguro). Por lo tanto, cuanto más alta sea la probabilidad de un suceso determinado, más probable será que ocurra. Si A es un suceso definido, la probabilidad de que ocurra A se expresa como P(A).
La probabilidad puede expresarse de varias maneras. Un enfoque frecuentista consiste en observar un número de sucesos concretos de un número total de sucesos. Así, podríamos decir que la probabilidad de que nazca en un período de un año es de 0,52, porque de un gran número de nacimientos únicos observamos que el 52% son niños. Un enfoque basado en el modelo es aquel en el que un modelo o mecanismo determina el suceso. En caso de que existan 6 posibilidades de un evento dado, la probabilidad de «1» es de 1/6, cada una de ellas igual de probable y todas suman uno. Un enfoque basado en la opinión es aquel en el que utilizamos nuestra experiencia pasada para predecir un acontecimiento futuro, por lo que podríamos predecir la probabilidad de que nuestro equipo de fútbol favorito gane el próximo partido, o de que llueva mañana.
Regla de la suma
La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad de que se produzca al menos uno de dos (o más) sucesos. En general, la probabilidad de un suceso A o B viene dada por:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Si A y B son mutuamente excluyentes, significa que no pueden ocurrir juntos, es decir, P(A y B)=0. Por lo tanto, para los sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B viene dada por:
P(A o B) = P(A) + P(B)
Ejemplo: Si el suceso A es que una persona es del grupo sanguíneo O y el suceso B es que es del grupo sanguíneo B, estos sucesos son mutuamente excluyentes, ya que una persona sólo puede ser una cosa o la otra. Por lo tanto, la probabilidad de que una persona determinada sea del grupo O o B es P(A)+P(B).
Regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación da la probabilidad de que dos (o más) sucesos ocurran juntos. En general, la probabilidad de que ocurran los dos sucesos A y B viene dada por:
P(A y B) = P(A) x P(B|A) = P(B) x P(A|B)
La notación P(B|A) es la probabilidad de que ocurra el suceso B dado que ha ocurrido el suceso A, donde el símbolo ‘|’ se lee ‘dado’. Se trata de un ejemplo de probabilidad condicional, siendo la condición que haya ocurrido el suceso A.
Ejemplo: Si el suceso A es que una persona contraiga una neuropatía y el suceso B que sea diabética, entonces P(A|B) es la probabilidad de contraer una neuropatía dado que sea diabética.
Si A y B son sucesos independientes, la probabilidad del suceso B no se ve afectada por la probabilidad del suceso A (y viceversa). En otras palabras, P(B|A) = P(B). Por lo tanto, para sucesos independientes, la probabilidad de que se produzcan tanto el suceso A como el B viene dada por:
P(A y B) = P(A) x P(B)
Ejemplo: Si el suceso A es que una persona es del grupo sanguíneo O y el suceso B que es diabética, entonces la probabilidad de que alguien tenga el grupo sanguíneo O y sea diabético es P(A)xP(B), suponiendo que contraer diabetes no está relacionado con el grupo sanguíneo de una persona.
Obsérvese que si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A|B)=0
Teorema de Bayes
A partir de la regla de multiplicación anterior, vemos que:
P(A) x P(B|A) = P(B) x P(A|B)
Esto nos lleva a lo que se conoce como el teorema de Bayes:
P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A)
Así, la probabilidad de B dada A es la probabilidad de A dada B, multiplicada por la probabilidad de B dividida por la probabilidad de A. Esta fórmula no es adecuada si P(A)=0, es decir, si A es un suceso que no puede ocurrir.
Sensibilidad y especificidad
Muchos resultados de pruebas diagnósticas se dan en forma de variable continua (es decir, que puede tomar cualquier valor dentro de un rango determinado), como la presión arterial diastólica o el nivel de hemoglobina. Sin embargo, para facilitar el debate, asumiremos primero que se han dividido en resultados positivos o negativos. Por ejemplo, un resultado diagnóstico positivo de hipertensión es una presión arterial diastólica superior a 90 mmHg, mientras que para la anemia se requiere un nivel de hemoglobina inferior a 12 g/dl.
Para cada procedimiento de diagnóstico (que puede implicar una prueba de laboratorio de una muestra tomada) hay una serie de preguntas fundamentales que deben formularse. En primer lugar, si la enfermedad está presente, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo? Esto nos lleva a la noción de sensibilidad de la prueba.
En segundo lugar, si la enfermedad está ausente, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea negativo? Esta pregunta se refiere a la especificidad de la prueba. Estas preguntas sólo pueden responderse si se sabe cuál es el «verdadero» diagnóstico. En el caso de una enfermedad orgánica, esto puede determinarse mediante una biopsia o, por ejemplo, un procedimiento caro y arriesgado como la angiografía para una enfermedad cardíaca. En otras situaciones puede ser por la opinión de un «experto». Estas pruebas constituyen el llamado «patrón de oro».
Ejemplo
Consideremos los resultados de una prueba del pro-péptido natriurético cerebral N-terminal (NT-proBNP) para el diagnóstico de la insuficiencia cardíaca en una encuesta de población general en mayores de 45 años y en pacientes con un diagnóstico existente de insuficiencia cardíaca. La insuficiencia cardíaca se identificó cuando el NT-proBNP > 36 pmol/l.
Denotamos un resultado positivo de la prueba por T+ y un diagnóstico positivo de insuficiencia cardíaca (la enfermedad) por D+. La prevalencia de la insuficiencia cardíaca en estos sujetos es de 103/410=0,251, es decir, aproximadamente el 25%. Por tanto, la probabilidad de que un sujeto elegido al azar del grupo combinado tenga la enfermedad se estima en 0,251. Podemos escribirlo como P(D+)=0,251.
La sensibilidad de una prueba es la proporción de personas con la enfermedad que también tienen un resultado positivo en la prueba. Así, la sensibilidad viene dada por e/(e+f)=35/103=0,340 o 34%. La sensibilidad es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo (evento T+) si la enfermedad está presente (evento D+) y puede escribirse como P(T+|D+), donde «|» significa «dado».
La especificidad de la prueba es la proporción de personas sin enfermedad que dan un resultado negativo. Así, la especificidad es h/(g+h)=300/307=0,977 o el 98%. Ahora bien, la especificidad es la probabilidad de un resultado negativo de la prueba (evento T-) dado que la enfermedad está ausente (evento D-) y puede escribirse como P(T-|D-).
Dado que la sensibilidad está condicionada a la presencia de la enfermedad y la especificidad a su ausencia, en teoría no se ven afectadas por la prevalencia de la enfermedad. Por ejemplo, si duplicáramos el número de sujetos con insuficiencia cardíaca verdadera de 103 a 206, de modo que la prevalencia fuera ahora de 103/(410+103)=20%, entonces podríamos esperar que el doble de sujetos dieran un resultado positivo en la prueba. Así, 2×35=70 tendrían un resultado positivo. En este caso, la sensibilidad sería de 70/206=0,34, que no varía con respecto al valor anterior. Se obtiene un resultado similar para la especificidad.
La sensibilidad y la especificidad son estadísticas útiles porque darán resultados consistentes para la prueba diagnóstica en una variedad de grupos de pacientes con diferentes prevalencias de la enfermedad. Este es un punto importante. La sensibilidad y la especificidad son características de la prueba, no de la población a la que se aplica la prueba. En la práctica, sin embargo, si la enfermedad es muy rara, la precisión con la que se puede estimar la sensibilidad puede ser limitada. Esto se debe a que el número de sujetos con la enfermedad puede ser pequeño y en este caso la proporción diagnosticada correctamente tendrá una incertidumbre considerable.
Falsos Negativos y Falsos Positivos
Otros dos términos de uso común son la tasa de falsos negativos (o probabilidad de un falso negativo) que viene dada por f/(e+f)=1-sensibilidad y la tasa de falsos positivos (o probabilidad de un falso positivo) o g/(g+h)=1-especificidad.
Es importante, por coherencia, poner siempre el diagnóstico verdadero en la parte superior y el resultado de la prueba en el lateral. Dado que la sensibilidad=1-P(falso negativo) y la especificidad=1-P(falso positivo), una mnemotecnia posiblemente útil para recordar esto es que «sensibilidad» y «negativo» tienen «n» y «especificidad» y «positivo» tienen «p».
Relación de probabilidad
En términos de probabilidades, podemos resumir el teorema de Bayes utilizando lo que se conoce como ratio de probabilidad positiva (LR+), definido como:
LR+=P(T+|D+)P(T+|D-)=Sensibilidad1-Especificidad
Por lo tanto, el cociente de probabilidad de una prueba positiva es la probabilidad de obtener un resultado positivo cuando un sujeto tiene la enfermedad, respecto a la probabilidad de una prueba positiva dado que el sujeto no tiene la enfermedad.
Se puede demostrar que el teorema de Bayes se resume en:
Probabilidad de la enfermedad después de la prueba = Probabilidad de la enfermedad antes de la prueba x ratio de probabilidad.
En este caso, el cociente de probabilidad es 0,80/(1-0,74)=3,08, por lo que las probabilidades de la enfermedad después de la prueba son 3,08×2,33=7,2. Esto puede verificarse a partir de la probabilidad posterior a la prueba de 0,88 calculada anteriormente, de modo que las probabilidades posteriores a la prueba son 0,88/(1-0,88)=7,3. (Esto difiere del 7,2 debido a errores de redondeo en el cálculo).
Ejemplo 1
Este ejemplo ilustra el teorema de Bayes en la práctica calculando el valor predictivo positivo.
Utilizamos la fórmula:
P(D+|T+)=P(T+|D+)P(D+)P(T+)
Con los datos del ejemplo: P(T+)=930/1465=0,63, P(D+)=0,70 y P(T+|D+)=0,80, por tanto
Valor predictivo positivo = (0,8 x 0,7)/0,63 = 0,89
…. que es lo que hemos calculado anteriormente.
Ejemplo 2
La prevalencia de una enfermedad es de 1 entre 1000 y existe una prueba que puede detectarla con una sensibilidad del 100% y una especificidad del 95% ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad, dado un resultado positivo en la prueba?
Muchas personas, sin pensarlo, podrían adivinar que la respuesta es 0,95, dada la especificidad.
Sin embargo, utilizando el teorema de Bayes
P(D+|T+)=Sensibilidad×PrevalenciaProbabilidad de resultado positivo
Para calcular la probabilidad de un resultado positivo, considere 1.000 personas entre las cuales una tiene la enfermedad. La prueba detectará sin duda a esta persona. Sin embargo, también dará un resultado positivo en el 5% de las 999 personas sin la enfermedad. Así, el total de positivos es 1+(0,05×999)=50,95 y la probabilidad de un resultado positivo es 50,95/1000=0,05095.
Por lo tanto:
P(D+|T+)=1×0.0010.05095=0.02
La utilidad de una prueba dependerá de la prevalencia de la enfermedad en la población a la que se ha aplicado. En general, una prueba útil es aquella que modifica considerablemente la probabilidad previa a la prueba. Si la enfermedad es muy rara o muy común, las probabilidades de enfermedad ante una prueba negativa o positiva son relativamente cercanas, por lo que la prueba tiene un valor cuestionable.
Independencia y eventos mutuamente excluyentes
En el ejemplo, si los resultados de la prueba de tolerancia al ejercicio no tuvieran ninguna relación con el hecho de que un paciente padezca o no una enfermedad arterial coronaria, es decir, son independientes, podríamos esperar:
P(D+ y T+ )= P(T+) x P(D+)
Si estimamos P(D+ y T+) como 815/1465=0,56, P(D+)=1023/1465=0,70 y P(T+)=930/1465=0,63, entonces la diferencia:
P(D+ y T+) – P(D+)P(T+)=0,56-(0,70×0,63)=0,12
…. es una medida aproximada de la independencia de estos eventos. En este caso, el tamaño de la diferencia sugiere que no son independientes. La cuestión de decidir si los eventos son o no independientes es claramente importante y pertenece a la inferencia estadística.
En general, un investigador no se enfrenta a una simple pregunta ¿Tiene el paciente una cardiopatía?, sino a toda una serie de diagnósticos diferentes. Normalmente, estos diagnósticos pueden considerarse mutuamente excluyentes. Es decir, si el paciente tiene una enfermedad, no tiene ninguno de los diagnósticos diferenciales alternativos. Sin embargo, especialmente en las personas mayores, un paciente puede tener varias enfermedades que dan síntomas similares.
A veces los estudiantes confunden los sucesos independientes con los mutuamente excluyentes, pero de lo anterior se desprende que los sucesos mutuamente excluyentes no pueden ser independientes. Los conceptos de independencia y de sucesos mutuamente excluyentes se utilizan para generalizar el teorema de Bayes y conducen al análisis de decisiones.
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Fuentes Consultadas
Henk Tijms (2004). Understanding Probability. Cambridge Univ. Press. A lively introduction to probability theory for the beginner.
Olav Kallenberg (2005) Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York.
Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag.
Teoría Elemental de la Probabilidad. Foto: Unsplash. Créditos: Amine Rock
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